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向量幾何在游戲編程中的使用6
<6>3-D空間中的基變換與坐標變換
-Twinsen編寫
-本人水平有限，疏忽錯誤在所難免，還請各位數學高手、編程高手不吝賜教
-我的Email-address: popyy@netease.com
一、空間坐標系的基和基矩陣
在3-D空間中，我們用空間坐標系來規范物體的位置，空間坐標系由3個相互垂直的坐標軸組成，我們就把它們作為我們觀察3-D空間的基礎，空間中物體的位置可以通過它們來衡量。當我們把這3個坐標軸上單位長度的向量記為3個相互正交的單位向量i,j,k，空間中每一個點的位置都可以被這3個向量線性表出，如P<1,-2,3>這個點可以表為i-2j+3k。
我們把這3個正交的單位向量稱為空間坐標系的基，它們單位長度為1且正交，所以可以成為標準正交基。三個向量叫做基向量?，F在我們用矩陣形式寫出基向量和基。
i = | 1 0 0 |
j = | 0 1 0 |
k = | 0 0 1 |
| i | | 1 0 0 |
B = | j | = | 0 1 0 |
| k | | 0 0 1 |
這樣的矩陣我們叫它基矩陣。有了基矩陣，我們就可以把空間坐標系中的一個向量寫成坐標乘上基矩陣的形式，比如上面的向量P可以寫成：
P = C x B
=>
| 1 0 0 |
| 1 -2 3 | = | 1 -2 3 | x | 0 1 0 |
| 0 0 1 |
這樣的話，空間坐標系下的同一個向量在不同的基下的坐標是不同的。
二、局部坐標系和局部坐標
和空間坐標系（也可以叫做全局坐標系或者世界坐標系）并存的稱為局部坐標系（也叫坐標架——coordinate frame），它有自己的基，這些基向量把空間坐標系作為參考系。比如
| x'| | -1 0 0 |
B' = | y'| = | 0 1 0 |
| z'| | 0 0 -1 |
| x''| | 2^½ /2 0 2^½ /2 |
B'' = | y''| = | 0 -1 0 |
| z''| | -(2^½) /2 0 2^½ /2 |
就是兩個局部坐標系的基，如圖:
現在我們可以把上面那個空間坐標中的向量P|1 -2 3|（以后都用矩陣表示）表示在不同的基下，我把它寫成一個大長串的式子：
| x' | | x''|
P = | Px' Py' Pz' | x | y' | = | Px'' Py'' Pz'' | x | y''|
| z' | | z''|
這里| Px' Py' Pz'|是P在B'下的坐標，| Px'' Py'' Pz''|是P在B''下的坐標，我把它寫的具體點吧：
| -1 0 0 | | 2^½ /2 0 2^½ /2|
| 1 -2 3 | = | -1 -2 -3 | x | 0 1 0 | = | 2*2^½ -2 2^½ | x | 0 -1 0 |
| 0 0 -1 | | -(2^½) /2 0 2^½ /2|
這就是說，在空間坐標系下面的向量| 1 -2 3 |在基B'下的坐標為|-1 -2 -3|，在B''下的坐標為| 2*2^½ -2 2^½ |。當然空間坐標系也有自己的基B|i j k|^T（因為是列向量，所以寫成行向量的轉置），但我們現在是拿它當作一個參考系。
在研究了局部坐標系之后，我現在要分析兩個應用它們的例子，先來看
三、空間坐標系中一個點圍繞任一軸的旋轉
上一篇討論3-D空間旋轉的時候說到有一個高檔的方法做3-D空間任意軸旋轉，現在我們的知識儲備已經足夠理解這個方法了(Quake引擎使用的就是這個方法)。
如上所示，空間坐標系中的一個局部坐標系xyz中有一個向量a(2,5,3)和一個點p(8,4,2)現在我要讓p點圍繞a向量旋轉60度，得到p’點，該如何做呢？從目前掌握的旋轉知識來看，我們有兩個理論基礎：
1）在一個坐標系中的一個點，如果要它圍繞該坐標系中一個坐標軸旋轉，就給它的坐標值乘相應的旋轉矩陣，如
[cosA -sinA 0 ]
[sinA cosA 0 ]
[0 0 1 ]
等等。
2）我們已經學習了局部坐標系的理論了，知道空間中一個點在不同的坐標系中的坐標不同。利用這一點，我們可以很方便的讓一個點或者向量在不同的坐標系之間轉換。
我們聯系這兩個理論根據，得出我們的思路：
1構造另一個局部坐標系abc，使得a成為該坐標系的一個坐標軸。
2 把p的坐標變換到abc中，得到p’，用旋轉公式讓p’圍繞已經成為坐標軸的a旋轉，得到p’’。
3把p’’再變換回坐標系xyz，得到p’’’，則p’’’就是p圍繞a旋轉后的點。
下面我們逐步說明。
首先我們構造abc，我們有無數種方法構造，因為只要保證b、c之間以及他們和a之間都正交就可以了，但我們只要一個。根據上圖，我們首先產生一個和a正交的b。這可以通過向量的叉乘來完成：我們取另一個向量v（顯然，這個向量是不能和a共線的任何非零向量），讓它和a決定一個平面x，然后讓v叉乘a得到一個垂直于x的向量b，因為b垂直于x，而a在平面x上，因此b一定垂直于a，然后用a叉乘b得到c，最后單位化a、b、c，這樣就得到了局部坐標系abc。
然后我們把p點變換到abc坐標系中，得到p’，即p’就是p在abc中的坐標：
|a b c| * p’= |x y z| * p
p’ = |a b c|^-1 * |x y z| * p
|ax bx cx| |1 0 0| |px|
p’ = |ay by cy| ^-1 * |0 1 0| * |py|
|az bz cz| |0 0 1| |pz|
注意這里|a b c|^-1即矩陣|a b c|的逆矩陣，因為a、b、c是三個正交向量，并且是單位向量，因此|a b c|是一個正交矩陣，正交矩陣的轉置和逆相等，這是它的一個特性，因此上面的公式就可以寫成:
|ax ay az| |1 0 0| |px|
p’ = |bx by bz| * |0 1 0| * |py|
|cx cy cz| |0 0 1| |pz|
這個時候p’就是p在abc坐標系下的坐標了。此時a已經是一個坐標軸了，我們可以用旋轉矩陣來做。
p’’ = RotMatrix * p’
[1 0 0] |p’x|
p’’ = [0 cos60 -sin60] * |p’y|
[0 sin60 cos60] |p’z|
最后，我們把p’’再次變換回xyz坐標系，得到最終的p’’’
|a b c| * p’’ = |x y z| * p’’’
p’’’ = |x y z|^-1 * |a b c| * p’’
p’’’ = |a b c| * p’’
最后
p’’’ = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T * p = M * p
這樣就得到了xyz坐標系中點p圍繞a旋轉60度后的點。
最后，我用Quake3引擎的相應函數(來自idSoftware ——quake3-1[1].32b-source——mathlib.c)來完成對這個算法的說明：
/*
===============
RotatePointAroundVector
dst是一個float[3]，也就是p’’’
dir相當于a，point就是p，degrees是旋轉度數
===============
*/
void RotatePointAroundVector( vec3_t dst, const vec3_t dir, const vec3_t point,
float degrees ) {
float m[3][3];
float im[3][3];
float zrot[3][3];
float tmpmat[3][3];
float rot[3][3];
int i;
vec3_t vr, vup, vf;
float rad;
vf[0] = dir[0];
vf[1] = dir[1];
vf[2] = dir[2];
// 首先通過dir得到一個和它垂直的vr
// PerpendicularVector()函數用于構造和dir垂直的向量
// 也就是我們上面的第1步
PerpendicularVector( vr, dir );
// 通過cross multiply得到vup
// 現在已經構造出坐標軸向量vr, vup, vf
CrossProduct( vr, vf, vup );
// 把這三個單位向量放入矩陣中
m[0][0] = vr[0];
m[1][0] = vr[1];
m[2][0] = vr[2];
m[0][1] = vup[0];
m[1][1] = vup[1];
m[2][1] = vup[2];
m[0][2] = vf[0];
m[1][2] = vf[1];
m[2][2] = vf[2];
// 產生轉置矩陣im
memcpy( im, m, sizeof( im ) );
im[0][1] = m[1][0];
im[0][2] = m[2][0];
im[1][0] = m[0][1];
im[1][2] = m[2][1];
im[2][0] = m[0][2];
im[2][1] = m[1][2];
// 構造旋轉矩陣zrot
memset( zrot, 0, sizeof( zrot ) );
zrot[0][0] = zrot[1][1] = zrot[2][2] = 1.0F;
rad = DEG2RAD( degrees );
zrot[0][0] = cos( rad );
zrot[0][1] = sin( rad );
zrot[1][0] = -sin( rad );
zrot[1][1] = cos( rad );
// 開始構造變換矩陣M
// tmpmat = m * zrot
MatrixMultiply( m, zrot, tmpmat );
// rot = m * zrot * im
MatrixMultiply( tmpmat, im, rot );
// 則 rot = m * zrot * im 和我們上面推出的
// M = |a b c| * RotMatrix * |a b c|^T 一致
// 變換point這個點
// p’’’ = M * p
for ( i = 0; i < 3; i++ ) {
dst[i] = rot[i][0] * point[0] + rot[i][1] * point[1] + rot[i][2] * point[2];
}
}
四、世界空間到相機空間的變換
空間坐標系XYZ，相機坐標系UVN。這時候相機空間的基（以下簡稱相機）在空間坐標系中圍繞各個坐標軸旋轉了一定角度<a,b,c>，然后移動了<x,y,z>。對于模型我們可以看作相對于相機的逆運動，即模型旋轉了一定角度<-a,-b,-c>，然后移動了<-x,-y,-z>，可以把相機和物體的運動看成兩個互逆的變換。這樣，可以通過對相機的變換矩陣求逆來得到模型的變換矩陣。下面來具體看一下，如何得到相機變換矩陣，并且求得它的逆矩陣。
首先聲明一下，對于一個模型的變換，我們可以給模型矩陣左乘變換矩陣：
M x P = P'
| A B C D | | x | | Ax + By + Cz + D |
| E F G H | | y | | Ex + Fy + Gz + H |
x =
| I J K L | | z | | Ix + Jy + Kz + L |
| M N O P | | 1 | | Mx + Ny + Oz + P |
也可以右乘變換矩陣：
P^T x M^T = P'^T
| A E I M |
| B F J N |
| x y z 1| x = |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P|
| C G K O |
| D H L P |
可以看出兩種變換方式是一個轉置關系，結果只是形式上的不同，但這里我們使用后者，即右乘變換矩陣，因為比較普遍。
很顯然，相機的變換可以分成兩個階段：旋轉和平移。我們先來看旋轉。
在空間坐標系中，相機旋轉之前世界坐標系xyz和相機坐標系u0v0n0的各個軸向量的方向相同，有關系：
| u0 | | x |
P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 | = |Px Py Pz| x | y |
| n0 | | z |
這里P是空間坐標系中的一個向量。|u0 v0 n0|^T是相機基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相機基矩陣下的坐標。|x y z|^T是
世界基矩陣，|Px Py Pz|是P在它下面的坐標。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相機和向量P都旋轉之后，有關系：
| u | | x |
P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
P'是P同相機一起旋轉后的向量。|u v n|^T是相機旋轉后的基矩陣，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐標，因為P是和相機一起旋轉的，所以坐標不變。|x y z|^T仍為世界基矩陣，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐標。
現在看
| u | | x |
|Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
因為|x y z|^T為一個單位陣，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| u |
|Px Py Pz| x | v | = |Px' Py' Pz'|
| n |
即|Px Py Pz|和相機一起旋轉后變成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋轉變換矩陣R就是：
| u |
| v |
| n |
寫成標準4x4矩陣：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩陣T很簡單：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
則相機矩陣就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 |
| vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |
C = R x T = x
| nx ny nz 0 | | 0 0 1 0 |
| 0 0 0 1 | | x y z 1 |
它的逆矩陣，即相機的逆變換矩陣為
| 1 0 0 0 | | ux vx nx 0 | | ux vx nx 0 |
| 0 1 0 0 | | uy vy ny 0 | | uy vy ny 0 |
C^-1 = T^-1 x R^-1 = x =
| 0 0 1 0 | | uz nz nz 0 | | uz vz nz 0 |
| -x -y -z 1 | | 0 0 0 1 | |-T.u -T.v -T.n 1 |
